У меня было наоборот: долг висел в приложении ещё дня три после оплаты, но на границе вообще никто не спросил, так что паниковать точно раньше времени.
Если в миграционной уже отдали документ, значит оплата казахстанской стороной принята, а долг в Каспи, скорее всего, просто не успел выгрузиться — на границе смотрят базы миграционной службы, а не банковское приложение, так что вряд ли развернут.
У меня было наоборот: тоже висел долг в приложении после оплаты, но на границе вообще не спрашивали. Смотрели только документы, про Каспи ни слова. Так что скорее всего переживаете зря, а на всякий случай чек об оплате можно с собой взять.